Unterschiede

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--- codierung:stellenwertsysteme:start [2023/11/08 11:43] – [Beispiel 2: Umwandlung vom Dezimalsystem ins Binärsystem] Martin Pabst
+++ codierung:stellenwertsysteme:start [2023/11/15 07:24] (aktuell) – [Das Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem)] Martin Pabst
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 ===== Das Binärsystem (Zweiersystem) =====
+<WRAP center round info 80%>
+Die kleinste mögliche Basis des Stellenwertsystems ist die Zahl 2. Im **Zweiersystem (Binärsystem)** gibt es entsprechend nur die **Ziffern 0 und 1**. Es eignet sich daher hervorragend zur Darstellung von Zahlen im Computer, da dessen Arbeitsspeicher aus vielen kleinen Speicherzellen besteht, die nur zwei verschiedene Zustände annehmen können (meist handelt es sich um Kondensatoren, die geladen sind oder ungeladen). Die Wertigkeit der Stellen ist $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$.
+</WRAP>
 ==== Beispiel 1: Umwandlung vom Binärsystem ins Dezimalsystem ====
 Wandle die Zahl $11010_2$ ins Dezimalsystem um. \\
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 [[.aufgabe1loesung:start|Lösung]]
-===== Kurzer Exkurs: Der Modulo-Operator (%) =====
+===== Umwandlung vom Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme (eleganter Algorithmus) =====
 <WRAP center round info 80%>
-Damit wir den Algorithmus des folgenden Kapitels elegant aufschreiben und als Programm umsetzen können, benötigen wir den Modulo-Operator (Zeichen: %). Er ist nichts anderes als eine einfache Art aufzuschreiben, dass der Rest einer Division berechnet werden soll:
+Wir suchen eine Möglichkeit, die einzelnen Ziffern einer Zahl **in beliebigen Stellenwertsystemen** zu **errechnen**. \\ \\
-{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-122412.png?400 }}
+Beginnen wir zunächst mal damit, die "Einerstelle" der Zahl $5246_10$ (also die Ziffer $6$) **im Dezimalsystem** durch Rechnung zu ermitteln. Das geht, indem wir die Zahl durch 10 dividieren und den Rest bestimmen:
+$$5246 : 10 = 524\ Rest\ 6$$
+Wie bekommen wir die anderen Ziffern (4, 2, 5)? Wir machen einfach mit dem Wert des Quotienten ($524$) auf dieselbe Art weiter:
+$$524 : 10 = 52\ Rest\ 4$$
+$$52 : 10 = 5\ Rest\ 2$$
+$$5 : 10 = 0\ Rest\ 5$$
+**Die Reste sind die Ziffern der Darstellung der Zahl im Zehnersystem!** \\ \\
+**Übertragung aufs Binärsystem:** \\
+Diesen Algorithmus wenden wir jetzt an, um die Zahl 46 ins Binärsystem zu übertragen:
+$$46 : 2 = 23\ Rest\ 0 $$
+$$23 : 2 = 11\ Rest\ 1 $$
+$$11 : 2 = 5\ Rest\ 1 $$
+$$5 : 2 = 2\ Rest\ 1 $$
+$$2 : 2 = 1\ Rest\ 0 $$
+$$1 : 2 = 0\ Rest\ 1 $$
+Damit erhalten wir: $46_{10} = 101110_2$.
 </WRAP>
-==== Aufgabe 2: ====
+==== Beispiel 3 ====
-a) Berechne:
+Wir ermitteln die Darstellung der Zahl 92 im Octalsystem (Achtersystem):
-  * 32 % 7 =
+$$92 : 8 = 11\ Rest\ 4$$
-  * 10 % 2 =
+$$11 : 8 = 1\ Rest\ 3$$
-  * 58 % 3 =
+$$1 : 8 = 0\ Rest\ 1$$
-  * 40 % 10 =
+Damit erhalten wir: $92_{10} = 134_8$.
-b) Welche Eigenschaft hat die Zahl $x \in \mathbb{Z}$ genau dann, wenn $x\ \%\ 5 = 0$ gilt? \\
-c) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $50\ \%\ x = 1$
-[[.aufgabe2loesung:start|Lösung]]
+==== Aufgabe 3 ====
+  * a) $120_{10} = ?_2$
+  * b) $42_{10} = ?_2$
+  * c) $71_{10} = ?_2$
-===== Umrechnen in andere Zahlensysteme auf elegante Art und Weise =====
+[[.aufgabe3loesung:start|Lösung]]
+===== Das Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem) =====
+<WRAP center round info 80%>
+Der **Arbeitsspeicher eines Computers** ist in einzelne Speicherzellen unterteilt, die jeweils nur den Wert $1$ oder $0$ speichern können. Man spricht von **1 Bit**. Jeweils 8 dieser Bits sind zu einem **Byte** zusammengefasst. Zur Speicherung ganzer Zahlen bietet sich daher das Binärsystem an. \\ \\
+Leider sind Binärzahlen  sehr lang und oft nicht durch einmal Hinsehen zu erfassen, z.B. die Zahl $1001110110110110_2$. Ihre Darstellung $40374$ ist leicht zu lesen, es ist aber nicht auf Anhieb klar, wie sie im Arbeitsspeicher abgelegt wird. Man verwendet daher in der Praxis oft das Hexadezimalsytem (Sechzehnersystem). Da die Basis dieses Stellenwertsystems 16 ist, benötigt man 16 verschiedene Ziffern. Man wählt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e und f. \\ \\
+</WRAP>
+==== Beispiel 4: ====
+a) Wir wandeln die Zahl $c6a3_{16}$ ins Dezimalsystem um:
+{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-134932.png?300 }}
+$$12\cdot 16^3 + 6\cdot 16^2 + 10\cdot 16^1 + 3\cdot 16^0 = 50851$$
+ \\ \\
+b) Wir wandeln die Zahl 40374 ins Hexadezimalsystem um: \\
+$$40374 : 16 = 2523\ Rest\ 6$$
+$$2523 : 16 = 157\ Rest\ 11\ (Ziffer\ b)$$
+$$157 : 16 = 9\ Rest\ 13\ (Ziffer\ d)$$
+$$9 : 16 = 0\ Rest\ 9$$
+Es ist also $40374_{10} = 9db6_{16}$.
+==== Aufgabe 4: ====
+Wandeln Sie um:
+  * a) $49152_{10} = ?_{16}$
+  * b) $30000_{10} = ?_{16}$
+  * c) $3a_{16} = ?_{10}$
+  * d) $a1b1_{16} = ?_{10}$
+[[.aufgabe4loesung:start|Lösung]]
+===== Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem =====
+<WRAP center round info 60%>
+Je vier Stellen im Binärsystem entsprechen einer Stelle im Hexadezimalsystem, z.B: $10110010_2 = b2_{16}$, wobei $1011_2 = b_{16}$ und $0010_2 = 2_{16}$.
+{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-141424.png?500 }}
+Zwei Stellen im Hexadezimalsystem belegen im Arbeitsspeicher also 8 **Bit** = 1 **Byte**.
+</WRAP>