Informatik 11

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====== Stellenwertsysteme ======
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Die Zahl 10 spielt in unserem Zahlensystem (**Dezi**malsystem) nur deshalb so eine besondere Rolle, weil wir Menschen 10 Finger haben. Die ersten Menschen, die gezählt haben, haben es sicherlich mit ihren Fingern getan. Als die 10 Finger der ersten Person erschöpft waren lag es sicher nahe, dass eine zweite Person aushalf und mit ihren Fingern zählte, wie viele ganze Handpaare der ersten Person schon weitergezählt waren... \\ 
Die Stellen unseres Zahlsystems haben daher die Wertigkeiten $10^0 = 1, 10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1000, \ldots$.
\\ **Beispiel 1:** \\ 
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-103740.png?300 }}
Der Wert der Zahl, die durch Aneinanderreihung der Ziffern 8, 3, 4 und 2 entsteht, berechnet sich zu
$$8\cdot 1000 + 3\cdot 100 + 4\cdot 10 + 2\cdot 1$$

**Stellen Sie sich jetzt vor, wir hätten 8 Finger:** \\ 
Die Stellen unseres Zahlsystems hätten dann die Stellenwerte $8^0 = 1, 8^1 = 8, 8^2 = 64, 8^3 = 512, \ldots$.
\\ **Beispiel 2:** \\ 
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-083911.png?300 }}
Der Wert, der durch Aneinanderreihung der Ziffern 3, 5, 4 und 2 im Achtersystem (Octalsystem) entsteht, ist
$$3542_8 = 3\cdot 512 + 5\cdot 64 + 4\cdot 8 + 2\cdot 1 = 1890_{10}$$
Durch die tiefgestellten Werte kennzeichnen wir, in welchem Stellenwertsystem eine Zahl dargestellt ist. \\ 

\\ **Beispiel 3:** \\ 
Versuche es selbst: Welche Darstellung im Dezimalsystem hat die folgende Zahl: $3402_8 = ?$  (Hier die [[.bsp3Loesung:start|Lösung]])


In der Informatik benutzt man vor allen zwei Stellenwertsysteme: Das **Hexadezimalsystem** (Sechzehnersystem) und das **Binärsystem** (Zweiersystem).
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===== Das Binärsystem (Zweiersystem) =====

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Die kleinste mögliche Basis des Stellenwertsystems ist die Zahl 2. Im **Zweiersystem (Binärsystem)** gibt es entsprechend nur die **Ziffern 0 und 1**. Es eignet sich daher hervorragend zur Darstellung von Zahlen im Computer, da dessen Arbeitsspeicher aus vielen kleinen Speicherzellen besteht, die nur zwei verschiedene Zustände annehmen können (meist handelt es sich um Kondensatoren, die geladen sind oder ungeladen). Die Wertigkeit der Stellen ist $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$.
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==== Beispiel 1: Umwandlung vom Binärsystem ins Dezimalsystem ====
Wandle die Zahl $11010_2$ ins Dezimalsystem um. \\ 
**Lösung:**
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-104427.png?300 }}
Die Stellenwerte im Binärsystem sind $2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, \ldots$. Der Wert der Zahl $11010_2$ lässt sich im Dezimalsystem also folgendermaßen ermitteln:
$$1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 26_{10}$$
==== Beispiel 2: Umwandlung vom Dezimalsystem ins Binärsystem (wenig eleganter Algorithmus) ====
Gesucht ist die Darstellung der Zahl $50_{10}$ im Binärsystem. Wir ermitteln sie, indem wir - von hohen Stellenwerten ausgehend - der Reihe nach ausprobieren, welche Stellenwerte in die jeweils verbleibende Restzahl hineinpassen:
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-115902.png?500 }}
Also ist $50_{10} = 110010_2$. \\ \\
**Bemerkung:** Vornullen lässt man wie im Dezimalsystem einfach weg.

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Einen eleganteren Algorithmus lernen Sie weiter unten kennen.
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==== Aufgabe 1: ====
Rechne um:
  * a) $92_{10} = ?_2$
  * b) $10101010_2 = ?_{10}$
  * c) $63_{10} = ?_2$
  * d) $11001100_2 = ?_{10}$

[[.aufgabe1loesung:start|Lösung]]


===== Umwandlung vom Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme (eleganter Algorithmus) =====
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Wir suchen eine Möglichkeit, die einzelnen Ziffern einer Zahl **in beliebigen Stellenwertsystemen** zu **errechnen**. \\ \\ 
Beginnen wir zunächst mal damit, die "Einerstelle" der Zahl $5246_10$ (also die Ziffer $6$) **im Dezimalsystem** durch Rechnung zu ermitteln. Das geht, indem wir die Zahl durch 10 dividieren und den Rest bestimmen:
$$5246 : 10 = 524\ Rest\ 6$$
Wie bekommen wir die anderen Ziffern (4, 2, 5)? Wir machen einfach mit dem Wert des Quotienten ($524$) auf dieselbe Art weiter:
$$524 : 10 = 52\ Rest\ 4$$
$$52 : 10 = 5\ Rest\ 2$$
$$5 : 10 = 0\ Rest\ 5$$
**Die Reste sind die Ziffern der Darstellung der Zahl im Zehnersystem!** \\ \\ 
**Übertragung aufs Binärsystem:** \\ 
Diesen Algorithmus wenden wir jetzt an, um die Zahl 46 ins Binärsystem zu übertragen:
$$46 : 2 = 23\ Rest\ 0 $$
$$23 : 2 = 11\ Rest\ 1 $$
$$11 : 2 = 5\ Rest\ 1 $$
$$5 : 2 = 2\ Rest\ 1 $$
$$2 : 2 = 1\ Rest\ 0 $$
$$1 : 2 = 0\ Rest\ 1 $$
Damit erhalten wir: $46_{10} = 101110_2$.
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==== Beispiel 3 ====
Wir ermitteln die Darstellung der Zahl 92 im Octalsystem (Achtersystem):
$$92 : 8 = 11\ Rest\ 4$$
$$11 : 8 = 1\ Rest\ 3$$
$$1 : 8 = 0\ Rest\ 1$$
Damit erhalten wir: $92_{10} = 134_8$.

==== Aufgabe 3 ====
  * a) $120_{10} = ?_2$
  * b) $42_{10} = ?_2$
  * c) $71_{10} = ?_2$

[[.aufgabe3loesung:start|Lösung]]
===== Das Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem) =====
<WRAP center round info 80%>
Der **Arbeitsspeicher eines Computers** ist in einzelne Speicherzellen unterteilt, die jeweils nur den Wert $1$ oder $0$ speichern können. Man spricht von **1 Bit**. Jeweils 8 dieser Bits sind zu einem **Byte** zusammengefasst. Zur Speicherung ganzer Zahlen bietet sich daher das Binärsystem an. \\ \\ 
Leider sind Binärzahlen  sehr lang und oft nicht durch einmal Hinsehen zu erfassen, z.B. die Zahl $1001110110110110_2$. Ihre Darstellung $40374$ ist leicht zu lesen, es ist aber nicht auf Anhieb klar, wie sie im Arbeitsspeicher abgelegt wird. Man verwendet daher in der Praxis oft das Hexadezimalsytem (Sechzehnersystem). Da die Basis dieses Stellenwertsystems 16 ist, benötigt man 16 verschiedene Ziffern. Man wählt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e und f. \\ \\ 
</WRAP>
==== Beispiel 4: ====
a) Wir wandeln die Zahl $c6a3_{16}$ ins Dezimalsystem um:
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-134932.png?300 }}
$$12\cdot 16^3 + 6\cdot 16^2 + 10\cdot 16^1 + 3\cdot 16^0 = 50851$$
 \\ \\ 
b) Wir wandeln die Zahl 40374 ins Hexadezimalsystem um: \\ 
$$40374 : 16 = 2523\ Rest\ 6$$
$$2523 : 16 = 157\ Rest\ 11\ (Ziffer\ b)$$
$$157 : 16 = 9\ Rest\ 13\ (Ziffer\ d)$$
$$9 : 16 = 0\ Rest\ 9$$
Es ist also $40374_{10} = 9db6_{16}$.

==== Aufgabe 4: ====
Wandeln Sie um:
  * a) $49152_{10} = ?_{16}$
  * b) $30000_{10} = ?_{16}$
  * c) $3a_{16} = ?_{10}$
  * d) $a1b1_{16} = ?_{10}$

[[.aufgabe4loesung:start|Lösung]]
===== Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem =====

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Je vier Stellen im Binärsystem entsprechen einer Stelle im Hexadezimalsystem, z.B: $10110010_2 = b2_{16}$, wobei $1011_2 = b_{16}$ und $0010_2 = 2_{16}$.
{{ :codierung:stellenwertsysteme:pasted:20231108-141424.png?500 }}
Zwei Stellen im Hexadezimalsystem belegen im Arbeitsspeicher also 8 **Bit** = 1 **Byte**.
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