Stellenwertsysteme

Die Zahl 10 spielt in unserem Zahlensystem (Dezimalsystem) nur deshalb so eine besondere Rolle, weil wir Menschen 10 Finger haben. Die ersten Menschen, die gezählt haben, haben es sicherlich mit ihren Fingern getan. Als die 10 Finger der ersten Person erschöpft waren lag es sicher nahe, dass eine zweite Person aushalf und mit ihren Fingern zählte, wie viele ganze Handpaare der ersten Person schon weitergezählt waren…
Die Stellen unseres Zahlsystems haben daher die Wertigkeiten $10^0 = 1, 10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1000, \ldots$.
Beispiel 1:
Der Wert der Zahl, die durch Aneinanderreihung der Ziffern 8, 3, 4 und 2 entsteht, berechnet sich zu $$8\cdot 1000 + 3\cdot 100 + 4\cdot 10 + 2\cdot 1$$

Stellen Sie sich jetzt vor, wir hätten 8 Finger:
Die Stellen unseres Zahlsystems hätten dann die Stellenwerte $8^0 = 1, 8^1 = 8, 8^2 = 64, 8^3 = 512, \ldots$.
Beispiel 2:
Der Wert, der durch Aneinanderreihung der Ziffern 3, 5, 4 und 2 im Achtersystem (Octalsystem) entsteht, ist $$3542_8 = 3\cdot 512 + 5\cdot 64 + 4\cdot 8 + 2\cdot 1 = 1890_{10}$$ Durch die tiefgestellten Werte kennzeichnen wir, in welchem Stellenwertsystem eine Zahl dargestellt ist.

Beispiel 3:
Versuche es selbst: Welche Darstellung im Dezimalsystem hat die folgende Zahl: $3402_8 = ?$ (Hier die Lösung)

In der Informatik benutzt man vor allen zwei Stellenwertsysteme: Das Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem) und das Binärsystem (Zweiersystem).

Das Binärsystem (Zweiersystem)

Beispiel 1: Umwandlung vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Wandle die Zahl $11010_2$ ins Dezimalsystem um.
Lösung: Die Stellenwerte im Binärsystem sind $2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, \ldots$. Der Wert der Zahl $11010_2$ lässt sich im Dezimalsystem also folgendermaßen ermitteln: $$1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 26_{10}$$

Beispiel 2: Umwandlung vom Dezimalsystem ins Binärsystem (wenig eleganter Algorithmus)

Gesucht ist die Darstellung der Zahl $50_{10}$ im Binärsystem. Wir ermitteln sie, indem wir - von hohen Stellenwerten ausgehend - der Reihe nach ausprobieren, welche Stellenwerte in die jeweils verbleibende Restzahl hineinpassen: Also ist $50_{10} = 110010_2$.

Bemerkung: Vornullen lässt man wie im Dezimalsystem einfach weg.

Einen eleganteren Algorithmus lernen Sie weiter unten kennen.

Aufgabe 1:

Rechne um:

a) $92_{10} = ?_2$
b) $10101010_2 = ?_{10}$
c) $63_{10} = ?_2$
d) $11001100_2 = ?_{10}$

Lösung

Kurzer Exkurs: Der Modulo-Operator (%)

Damit wir den Algorithmus des folgenden Kapitels elegant aufschreiben und als Programm umsetzen können, benötigen wir den Modulo-Operator (Zeichen: %). Er ist nichts anderes als eine einfache Art aufzuschreiben, dass der Rest einer Division berechnet werden soll:

Aufgabe 2:

a) Berechne:

32 % 7 =
10 % 2 =
58 % 3 =
40 % 10 =

b) Welche Eigenschaft hat die Zahl $x \in \mathbb{Z}$ genau dann, wenn $x\ \%\ 5 = 0$ gilt?
c) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $50\ \%\ x = 1$

Lösung

Umwandlung vom Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme (eleganter Algorithmus)

Wir suchen eine Möglichkeit, die einzelnen Ziffern einer Zahl in beliebigen Stellenwertsystemen zu errechnen.

Beginnen wir zunächst mal damit, die "Einerstelle" der Zahl $5246_10$ (also die Ziffer $6$) im Dezimalsystem durch Rechnung zu ermitteln. Das geht, indem wir die Zahl durch 10 dividieren und den Rest bestimmen: $$5246 : 10 = 524\ Rest 6\ $$ Wie bekommen wir die anderen Ziffern (4, 2, 5)? Wir machen einfach mit dem Wert des Quotienten ($524$) auf dieselbe Art weiter: $$524 : 10 = 52\ Rest 4\ $$ $$52 : 10 = 5\ Rest 2\ $$ $$5 : 10 = 0\ Rest 5\ $$ Die Reste sind die Ziffern der Darstellung der Zahl im Zehnersystem!

Übertragung aufs Binärsystem:
Diesen Algorithmus wenden wir jetzt an, um die Zahl 46 ins Binärsystem zu übertragen: $$46 : 2 = 23\ Rest 0\ $$ $$23 : 2 = 11\ Rest 1\ $$ $$11 : 2 = 5\ Rest 1\ $$ $$5 : 2 = 2\ Rest 1\ $$ $$2 : 2 = 1\ Rest 0\ $$ $$1 : 2 = 0\ Rest 1\ $$ Damit erhalten wir: $46_{10} = 101110_2$.

Beispiel 3

Wir ermitteln die Darstellung der Zahl 92 im Octalsystem (Achtersystem): $$92 : 8 = 11 Rest 4$$ $$11 : 8 = 1 Rest 3$$ $$1 : 8 = 0 Rest 1$$ Damit erhalten wir: $92_{10} = 134_8$.